Question

已知數列{a_n}的通項公式a_n=

1

(n+1)2

（n∈N^*），記f（n）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n）．
（1）試通過計算f（1），f（2），f（3）的值，推測出f（n）的值；
（2）試用數學歸納法證明你的推測．

Answer 1

考點：數學歸納法,歸納推理

專題：推理和證明

分析：（1）根據{a_n}的通項公式算出a₁，a₂，a₃，再代入f（n）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n），算出f（1），f（2），f（3）的值，然后由前三項推測出f（n）的值；
（2）第一步，先將n=1時代入猜想驗證；第二步，寫出假設（只需將f（n）中的n換成k即可），再利用f（n+1）=f（n）•（1-a_n+1），把a_k+1算出來連同假設一起代入上式，算出f（k+1）進行化簡即可．

解答： 解：（1）由a_n=

1

(n+1)2

（n∈N^*）得a₁=

1

4

，a₂=

1

9

，a₃=

1

16

，
將其代入f（n）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n）得f（1）=

3

4

，f（2）=

4

6

，f（3）=

5

8

，
猜想f（n）=

n+2

2n+2

，（n∈N^*）
（2）證明：①當n=1時，f（1）=

1+2

2×1+2

=

3

4

，由（1）可知，猜想成立．
②假設n=k時，猜想成立，即f（k）=

k+2

2k+2

成立，
由f（n）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n）可知f（k+1）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_k）（1+a_k+1）=f（k））（1-a_k+1）
=

k+2

2k+2

（1-

1

(k+2)2

）
=

k+2

2(k+1)

•

(k+2)2-1

(k+2)2

=

k+2

2(k+1)

•

(k+3)(k+1)

(k+2)2

=

(k+1)+1

2(k+1)+2

即n=k+1時猜想也成立．
由①②可知，猜想對任意的正整數都成立．

點評：第一步在驗證時，一定是n的初始值n₀；第二步證明n=k+1時的命題時，一定要用上歸納假設，否則就不是數學歸納法，同時要特別注意從n=k到n=k+1時命題之間的聯系．