Question

（本題滿分14分）已知函數(常數.
(Ⅰ) 當時，求曲線在點處的切線方程；
(Ⅱ)討論函數在區間上零點的個數（為自然對數的底數）.

Answer 1

解：(Ⅰ)當時，.         …1分
.             又，                         
∴曲線在點處的切線方程為.即.…3分
(Ⅱ)（1）下面先證明：．
設　，則，
且僅當，所以，在上是增函數，故．
所以，，即．　　　…………………………5分
（2）因為，所以.
因為當時，，當時，.
又，所以在上是減函數，在
上是增函數.所以， 　　　…9分
（3）下面討論函數的零點情況．
①當，即時，函數在上無零點；　
②)當，即時，，則
而，∴在上有一個零點；  
③當，即時， ,
由于，，
，
所以，函數在上有兩個零點.　　　　……………………………………13分
綜上所述，在上，我們有結論：當時，函數無零點；當時，函數有一個零點；當時，函數有兩個零點.           ………………………………14分
解法二：(Ⅱ)依題意，可知函數的定義域為，
 .      ………5分
∴當時，，當時，.
在上是減函數，在上是增函數.
        ……………………6分
設（，常數.
∴當時，
且僅當時，在上是增函數.
∴當時，，∴當時，
取，得由此得.       …………9分
取得由此得.      
…10分
(1)當，即時，函數無零點；　 ………………………11分
(2)當，即時，，則 而，
∴函數有一個零點；  …12分  
(3)當即時.而，
∴函數有兩個零點. …13分  綜上所述，當時，函數無零點，當
時，函數有一個零點，當時，函數有兩個零點.  …14分

略