Question

（2012•虹口區一模）已知函數f(x)=loga

1-m(x-1)

x-2

（a＞0，a≠1）．
（1）若m=-1時，判斷函數f（x）在

2，+∞)

上的單調性，并說明理由；
（2）若對于定義域內一切x，f（1+x）+f（1-x）=0恒成立，求實數m的值；
（3）在（2）的條件下，當x∈

b，a

時，f（x）的取值恰為

1，+∞

，求實數a，b的值．

Answer 1

分析：（1）由于?(x)=

x

x-2

，單調遞減，再由復合函數的單調性可得函數f(x)=loga

x

x-2

，在

2，+∞)

上的單調性．
（2）由f（1+x）+f（1-x）=0恒成立，可得m=±1，經檢驗，m=-1滿足條件
（3）f（x）的定義域為（-∞，0）∪

2，+∞)

，分（b，a）⊆（-∞，0）和（b，a）⊆

2，+∞)

2種情況，根據f（x）的取值恰為

1，+∞

，求出實數a，b的值．

解答：解：（1）f(x)=loga

x

x-2

，任取x₂＞x₁＞2，記?(x)=

x

x-2

，
∴?(x1)-?(x2)=

-2(x1-x2)

(x1-2)(x2-2)

＞0，∴?（x）單調遞減．
當a＞1時，f（x）在

2，+∞)

單調遞減，
當0＜a＜1時，f（x）在

2，+∞)

單調遞增．…（4分）
（2）由f（1+x）+f（1-x）=0恒成立，可得 loga

1-mx

x-1

+loga

1+mx

-x-1

=0，
得-m²x²=-x²，m=±1．…（8分）
∵當 m=1時，f（x）=loga

2-x

x-2

 無意義，∴m=-1，f（x）=loga

x

x-2

．…（10分）
（3）由于f（x）的定義域為（-∞，0）∪

2，+∞)

，
若（b，a）⊆（-∞，0），與a＞0矛盾，不合題意．…（12分）
若（b，a）⊆

2，+∞)

，∴2≤b＜a，由（1）知 f（x）為減函數．
 故值域

f(a)，f(b)

即為

1，+∞

，∴b=2…（15分）
又loga

a

a-2

=1，得a=3．…（16分）

點評：本題主要考查對數函數的圖象和性質，函數的恒成立問題，屬于中檔題．