Question

（2012•虹口區一模）已知向量

m

=（sinx，1），

n

=（

3

cosx，

1

2

），函數f(x)=(

m

+

n

)•

m

．
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）若a，b，c是△ABC的內角A，B，C的對邊，a=2

3

，c=2

2

，且f（A）是函數f（x）在（0，

π

2

]上的最大值，求：角A，角C及b邊的大小．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數量積，二倍角公式及輔助角公式化簡函數，即可求得函數的最小正周期；
（2）利用f（A）是函數f（x）在

0， π 2

上的最大值，求得A；根據正弦定理，可求C，再利用余弦定理可求b．

解答：解：（1）∵向量

m

=

sinx，1

，

n

=

3 cosx， 1 2

，函數f(x)=(

m

+

n

)•

m

．
∴f(x)=

sinx+ 3 cosx， 3 2

•

sinx，1

=sin2x+

3

sinx•cosx+

3

2

=sin(2x-

π

6

)+2，
∴T=π…（5分）
（2）∵0＜x≤

π

2

，∴-

π

6

＜2x-

π

6

≤

5π

6

，
∴f（x）的最大值為3，
∴f(A)=sin(2A-

π

6

)+2=3，
∵A為三角形內角，∴A=

π

3

…（9分）
又

2 3

sin π 3

=

2 2

sinC

，得sinC=

2

2

，
∵A+C＜π，∴C=

π

4

…（12分）
由12=b2+8-2b•2

2

•

1

2

，得b2-2

2

b-4=0，
∴b=

2

+

6

…（15分）

點評：本題考查向量的數量積，考查三角函數的化簡，考查正弦定理、余弦定理的運用，正確化簡函數是關鍵．