Question

（2012•虹口區一模）已知函數f(x)=sin(ωx+

π

4

)（x∈R，ω＞0）的最小正周期為π，將y=f（x）圖象向左平移?個單位長度(0＜?＜

π

2

)所得圖象關于y軸對稱，則?=

π

8

．

Answer 1

分析：根據函數的周期為π，結合周期公式可得ω=2．得到函數的表達式后，根據函數y=f（x+Φ）是偶函數，由偶函數的定義結合正弦的誘導公式化簡整理，即可得到實數Φ的值．

解答：解：∵函數f(x)=sin(ωx+

π

4

)（x∈R，ω＞0）的最小正周期為π，
∴ω=

2π

T

=2，函數表達式為：f(x)=sin(2x+

π

4

)
又∵y=f（x）圖象向左平移Φ個單位長度所得圖象關于y軸對稱，
∴y=f（x+Φ）是偶函數，即f（-x+Φ）=f（x+Φ）
也就是sin[2(-x+Φ)+

π

4

)]=sin[2(x+Φ)+

π

4

)]對任意的x∈R恒成立
∴-2x+2Φ+

π

4

=π-(2x+2Φ+

π

4

)+2kπ，k∈Z
因為0＜Φ＜

π

2

，所以取k=0，得Φ=

π

8

故答案為：

π

8

點評：本題給出y=Asin（ωx+φ）的圖象左移Φ個單位后，得到偶函數的圖象，求Φ的值．著重考查了函數y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質和正弦的誘導公式等知識，屬于基礎題．