Question

給定直線動(dòng)圓M與定圓外切且與直線相切．
（1）求動(dòng)圓圓心M的軌跡C的方程；
（2）設(shè)A、B是曲線C上兩動(dòng)點(diǎn)（異于坐標(biāo)原點(diǎn)O），若求證直線AB過(guò)一定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

（1）（2）

試題分析：解：（1）由已知可得：定圓的圓心為（－3，0），且M到（－3，0）的距離比它到直線的距離大1，∴M到（－3，0）的距離等于它到直線的距離，
∴動(dòng)圓圓心M的軌跡為以F（－3，0）為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，開口向左，
， ∴動(dòng)圓圓心M的軌跡C的方程為：
（也可以用直接法：，然后化簡(jiǎn)即得：）；
（2）方法一：經(jīng)分析：OA,OB的斜率都存在，都不為0，設(shè)OA：，則OB：，
聯(lián)立和的方程求得A（，），同理可得B（，）,
∴, 即: ,
令,則,∴,∴直線AB與x軸交點(diǎn)為定點(diǎn)，
其坐標(biāo)為。方法二：當(dāng)AB垂直x軸時(shí)，設(shè)A，則B，
∵∴，∴
此時(shí)AB與x軸的交點(diǎn)為；
當(dāng)AB不垂直x軸時(shí)，設(shè)AB：，聯(lián)立和有：
，∴，
∵∴，即：，
∴AB：，此時(shí)直線AB與x軸交點(diǎn)為定點(diǎn)，其坐標(biāo)為,
綜上：直線AB與x軸交點(diǎn)為定點(diǎn)，其坐標(biāo)為。
點(diǎn)評(píng)：對(duì)于題目涉及到關(guān)于直線和其他曲線的交點(diǎn)時(shí)，一般都可以用到跟與系數(shù)的關(guān)系式：在一元二次方程中，。