Question

(本小題滿分13分)已知拋物線上一動點,拋物線內(nèi)一點,為焦點且的最小值為。
求拋物線方程以及使得|PA|+|PF|最小時的P點坐標;
過(1)中的P點作兩條互相垂直的直線與拋物線分別交于C、D兩點,直線CD是否過一定點? 若是,求出該定點坐標; 若不是,請說明理由。

Answer 1

 (2,2). 過定點。

試題分析：(1)過A,P分別做準線的垂線,設(shè)垂足為,則|PF|=|PH|,由圖象可知,當|PA|+|PF|取最小值即是點到準線的距離,此時P點為AA₀與拋物線的交點.故,此時拋物線方程為, P點坐標為(2,2).
(2)設(shè),,直線即
即, 由PA⊥PB有
得代入到中，有,
即即,故直線AB過定點。
點評：拋物線的定義在考試中經(jīng)常考到，我們要熟練掌握。此題的第一問解答的關(guān)鍵是：利用拋物線的定義把“的最小值”抓化為“點A到準線的距離。”