Question

已知圓直線與圓相切，且交橢圓于兩點，是橢圓的半焦距，，
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）O為坐標原點，若求橢圓的方程；
(Ⅲ) 在（Ⅱ）的條件下，設(shè)橢圓的左右頂點分別為A，B，動點，直線AS，BS與直線分別交于M,N兩點，求線段MN的長度的最小值.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）橢圓的方程為；(Ⅲ).

試題分析：（Ⅰ）直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑.設(shè)圓的圓心為半徑分別為，直線的方程為.若直線與圓相切，則圓心到直線的距離，將已知條件代入這個公式，即可得的值.
(Ⅱ)將代入得：得關(guān)于的二次方程.設(shè)則是這個方程的兩個根.因為，所以，再結(jié)合韋達定理，可得一個含的等式，與聯(lián)立解方程組即可求得的值.
(Ⅲ)思路一、在（Ⅱ）的條件下，橢圓的方程為：，動點，則將其代入橢圓方程，便得：①.設(shè)，，則.兩式相乘再利用①式可消去得，再用重要不等式便可得線段MN的長度的最小值.
思路二、選定一個量作為變量，其余的量都用這個量來表示，最終用這個量表示出線段MN的長度.
那么選哪 一個量作為變量呢？顯然直線AS的斜率存在，設(shè)為且，然后用表示出點的坐標，從而表示出線段MN的長度.再用重要不等式便可得線段MN的長度的最小值.
試題解析：（Ⅰ）直線與圓相切,所以   4分
(Ⅱ) 將代入得：
得:        ①
設(shè)則
   ②
因為
由已知代人②
所以橢圓的方程為                              8分
(Ⅲ)法一、在（Ⅱ）的條件下，橢圓的方程為：，將動點的坐標代入橢圓方程，便得：                     ①
設(shè)，，則.兩式相乘得     ②
由①得：，代入②得：，顯然異號.
所以線段MN的長度，當時取等號.
法二、顯然直線AS的斜率存在，設(shè)為且則
依題意，由得：
設(shè)則即
，又B（2，0）所以  BS：
由 
所以時：                                12分