Question

【題目】設數列的前項和為，，.

（1）求數列的通項公式；

（2）設數列滿足：

對于任意，都有成立.

①求數列的通項公式；

②設數列，問：數列中是否存在三項，使得它們構成等差數列？若存在，求出這三項；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)，.(2)①，.②見解析.

【解析】分析：（1）當時，類比寫出，兩式相減整理得，當時，求得，從而求得數列的通項公式.；

（2）①將代入已知條件，用與（1）相似的方法，變換求出數列的通項公式；

②由的通項公式分析，得…，假設存在三項，，成等差數列，且，則，即，根據數列的單調性，化簡得，將或代入已知條件，即可得到結論.

詳解：解：（1）由， ①

得， ②

由①-②得，即，

對①取得，，所以，所以為常數，

所以為等比數列，首項為1，公比為，即，.

（2）①由，可得對于任意有

， ③

則， ④

則， ⑤

由③-⑤得，

對③取得，也適合上式，

因此，.

②由（1）（2）可知，

則，

所以當時，，即，

當時，，即在且上單調遞減，

故…，

假設存在三項，，成等差數列，其中，，，

由于…，可不妨設，則（*），

即，

因為，，且，則且，

由數列的單調性可知，，即，

因為，所以，

即，化簡得，

又且，所以或，

當時，，即，由時，，此時，，不構成等差數列，不合題意，

當時，由題意或，即，又，代入（*）式得，

因為數列在且上單調遞減，且，，所以，

綜上所述，數列中存在三項，，或，，構成等差數列.