Question

【題目】已知拋物線上一點(diǎn),與關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，斜率為1的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，且、在直線兩側(cè)．

（1）求證：平分；

（2）點(diǎn)為拋物線在、處切線的交點(diǎn)，若，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）要證平分，只需證直線傾斜角互補(bǔ)，只需證斜率和為0，設(shè)直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，即可求證；

（2）方程化為，求導(dǎo)，求出拋物線在、處切線的斜率，繼而求出切線方程，聯(lián)立兩切線方程，求出點(diǎn)坐標(biāo)，，到直線距離相等，即可求出直線的方程.

（1）與關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，

設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立，消去得，，

設(shè)，

=，

直線傾斜角互補(bǔ)，軸，

，平分；

（2）拋物線，，

在點(diǎn)處的切線方程為，①

同理在點(diǎn)處的切線方程為， ②

由①②得， ，

到直線的距離相等，

由點(diǎn)到直線的距離公式得：

，

所求的直線方程為.