Question

【題目】已知函數.

（1）若對任意，恒成立，求的取值范圍；

（2）若函數有兩個不同的零點，，證明：.

Answer 1

【答案】（1）

（2）證明見解析

【解析】

（1）參變分離，由對任意恒成立，得對任意恒成立. 令，利用導數求出的最大值，即可求出的取值范圍.

（2）若函數的兩個零點為，，不妨設設，根據函數的單調性可得，要證，即證.只需證明.由，只需證明.令，，求導分析函數的單調性，進而可得：．

（1）解：由對任意恒成立，得對任意恒成立.

令，則.

令，則.

∴在上，，單調遞增；在上，，單調遞減.

∴，

則，即的取值范圍為.

（2）證明：設，，則.

在上，，單調遞增；在上，，單調遞減.

∵，，當時，，且，

∴，，

要證，即證.

∵，，在上單調遞減，

∴只需證明.

由，只需證明.

令，.

∵，∴，，

∴，

∴在上單調遞增，

∴，

即，∴.