Question

【題目】已知f（x）是定義在[﹣1，1]上的奇函數，當x∈[﹣1，0]時，函數的解析式為f（x）= ﹣ （a∈R）．
（1）求出f（x）在[0，1]上的解析式；
（2）求f（x）在[﹣1，0]上的最大值．
（3）對任意的x1 ， x2∈[﹣1，1]都有|f（x1）﹣f（x2）|≤M成立，求最小的整數M的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為f（x）是定義在[﹣1，1]上的奇函數，

所以f（0）=1﹣a=0，所以a=1；

當x∈[0，1]時，則﹣x∈[﹣1，0]，所以f（x）=﹣f（﹣x）= ，

化簡得f（x）=2x﹣4x．x∈[0，1]

（2）解：由（1）知，x∈[0，1]時， ，其中2x∈[1，2]，

所以當2x=1時，fmax（x）=0；2x=2時，fmin（x）=﹣2，

根據對稱性可知f（x）在[﹣1，0]上的最大值為2

（3）解：因為f（x）為[﹣1，1]上的奇函數，且f（0）=0，結合（2）可知，該函數在定義域[﹣1，1]上的最大值為2，最小值為﹣2，

|f（x1）﹣f（x2）|≤fmax（x）﹣fmin（x）=4，所以M=4

【解析】（1）先設x∈[0，1]，則﹣x∈[﹣1，0]，然后結合已知的解析式、奇函數的性質即可解決問題；（2）根據函數的特點，可采用配方法結合自變量的取值范圍解決問題；（3）因為是不等式恒成立問題，所以轉化為函數的最值問題來解．
【考點精析】本題主要考查了函數的最值及其幾何意義和函數奇偶性的性質的相關知識點，需要掌握利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值；在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇才能正確解答此題．