Question

已知f（x），g（x）都是定義在R上的函數，g（x）≠0，若f'（x）g（x）＜f（x）g'（x），且f（x）=a^x•g（x）（a＞0且a≠1）及

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

10

3

，則a的值為______．

Answer 1

∵f（x）=a^x•g（x）
∴

f(x)

g(x)

=a^x，得

f(1)

g(1)

=a，

f(-1)

g(-1)

=a^-1=

1

a

因此

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

10

3

即a+

1

a

=

10

3

解之得a=3或

1

3

設F（x）=

f(x)

g(x)

，則F'（x）=

f′(x)g(x)-f(x)g′(x)

g′(x)

∵f'（x）g（x）＜f（x）g'（x），
∴F'（x）=

f′(x)g(x)-f(x)g′(x)

g′(x)

＜0在R上成立，故F（x）是R上的減函數
即y=a^x是R上的減函數，故a∈（0，1）
所以實數a的值為

1

3

故答案為：

1

3