Question

【題目】已知函數．

（1）討論函數 的單調性；

（2）若曲線上存在唯一的點，使得曲線在該點處的切線與曲線只有一個公共點，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

(1) 求出，分四種情況討論的范圍，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數的增區間，求得的范圍，可得函數的減區間；(2) 曲線在點處的切線方程和聯立可得：，設,通過討論的范圍，求出函數的單調區間，判斷函數的零點個數，確定的范圍即可.

（1），設

①當時，在上大于零，在上小于零，所以在上單調遞增，在單調遞減；

② 當時，(當且僅當時)，所以在上單調遞增；

③ 當時，在上大于零，在上小于零，所以在上單調遞增，在單調遞減；

④當時，在上大于零，在上小于零，所以在上單調遞增，在上單調遞減.

（2）曲線在點處的切線方程為，切線方程和聯立可得：，現討論該方程根的個數：

設， 所以.

，設，則.

①當時，，所以在上單調遞減，

又，所以在上大于零，在上小于零，所以在上單調遞增，在上單調遞減，

又，所以只有唯一的零點，由的任意性，所以不符合題意；

② 當時，在上小于零，在上大于零，所以在上單調遞減，在上單調遞增，

當時，在上大于零，在上小于零，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以在上小于或等于零，且有唯一的零點.

函數開口向上，若其判別式不大于零，

則對任意，有；若其判別式大于零，設其右側的零點為，則對任意的，有，所以在區間上，存在零點，綜上的零點不唯一；

當時，可得，所以在上單調遞增，所以其只有唯一的零點；

當時，在上大于零，在上小于零，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以在上大于或等于零，且有唯一的零點.

函數在區間上一定存在最大值，設為，若，則在上小于零.若，當時，，所以在區間上，存在零點，綜上的零點不唯一.

綜上，當 時，曲線上存在唯一的點，使得曲線在該點處的切線與曲線只有一個公共點.