【題目】如圖，在三棱柱
中，四邊形
是長方形，
，
，
，
，連接EF．
證明：平面
平面
；
若
，
，
，求二面角
的正弦值．
【答案】（1）詳見解析；（2）
.
【解析】
（1）先證明
平面
，從而證得
平面，從而可得
是平面
與平面
所成二面角的平面角．再利用平行四邊形
為菱形即可證得平面與平面所成二面角的平面角為直角，問題得證。
（2）建立空間直角坐標系，求出平面
與平面
的法向量坐標，利用向量夾角坐標公式即可求得其余弦值，問題得解。
證明：在三棱柱
中，
，
，
又
在長方形
中，
，
，
平面
B.
四邊形與四邊形
均是平行四邊形，
且
，
，連接EF，
．
又，
，
又平面，
平面B.
又
，
均在平面內，
，
B.
又平面
平面
，
平面，
平面．
由二面角的平面角的定義知，是平面與平面所成二面角的平面角．
又在平行四邊形中，
，平行四邊形為菱形，
由菱形的性質可得，
，
，
平面
平面；
解：由及題設可知，四邊形是菱形，
，
，
在
中，由余弦定理可得
．
又由知，EB，EA，EF兩兩互相垂直，以E為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系．
0，
，
0，，
，
，
0，．
，
，
，
．
設平面
的法向量為
，平面
的一個法向量為
．
由
，取
，得
；
由
，取
，得
．
．
設二面角
的大小為
，
則
．
二面角的正弦值為．
作業輔導系列答案
同步學典一課多練系列答案
經典密卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知直線
與橢圓
相交于
兩點.
（1）若橢圓的離心率為
，焦距為2，求線段
的長；
（2）若向量
與向量
互相垂直（其中
為坐標原點），當橢圓的離心率
時，求橢圓的長軸長的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設橢圓
的左、右焦點分別為
，上頂點為
，過點與
垂直的直線交
軸負半軸于點
，且
恰是
的中點，若過
三點的圓恰好與直線
相切.
（1）求橢圓
的方程；
（2）若直線
與橢圓交于
兩點，在軸上是否存在點
，使得以
為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果存在，求出
的值；如果不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，M為PC的中點點N在線段AD上.
（1）點N為線段AD的中點時，求證：直線PA∥面BMN；
（2）若直線MN與平面PBC所成角的正弦值為
，求二面角C﹣BM﹣N所成角θ的余弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓 
的長軸長為4，焦距為
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）過動點
的直線交
軸與點
，交
于點
(
在第一象限)，且
是線段
的中點.過點
作
軸的垂線交
于另一點
，延長
交
于點
.
（ⅰ）設直線
的斜率分別為
，證明
為定值；
（ⅱ）求直線
的斜率的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，點M為棱A1B1的中點．
求證：（1）AB∥平面A1B1C；
（2）平面C1CM⊥平面A1B1C．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
（
）的離心率為
，橢圓
與
軸交于
兩點，且
．
（1）求橢圓的方程；
（2）設點
是橢圓上的一個動點，且點
在軸的右側，直線
與直線
交于
兩點，若以
為直徑的圓與
軸交于
，求點
橫坐標的取值范圍及
的最大值．
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