Question

【題目】已知函數(shù)

（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)有極大值點(diǎn)，求證：.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）證明見解析

【解析】

（1）對(duì)求導(dǎo)，得到，然后判斷的根的情況，得到的正負(fù)，然后得到的單調(diào)性；（2）由（1）可得，且，由得，所以只需證，令，，利用導(dǎo)數(shù)研究出的單調(diào)性和最值，結(jié)合，得到時(shí)，，從而得以證明.

（1）由題意，知，對(duì)于方程，，

①當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增.

②當(dāng)時(shí)，令，則，，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（2）由（1）可知當(dāng)時(shí)，在處時(shí)，函數(shù)取得極大值，

所以函數(shù)的極大值點(diǎn)為，則．

由得，

要證，

只需證，

只需證，

即，

令，，

則，

令，，

則，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

，

所以，在上單調(diào)遞減，又，

故時(shí)，，

又，則，

從而可證明.