【題目】已知函數(shù)
，
．
（Ⅰ）若
在
內單調遞減，求實數(shù)
的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)有兩個極值點分別為
，
，證明：
．
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）見證明
【解析】
（I）先求得函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)在
上的單調性列不等式，分離常數(shù)
后利用構造函數(shù)法求得的取值范圍.（II）將極值點
代入導函數(shù)列方程組，將所要證明的不等式轉化為證明
，利用構造函數(shù)法證得上述不等式成立.
（I）
．
∴
在內單調遞減，
∴
在內恒成立，
即
在內恒成立．
令
，則
，
∴當
時，
，即
在
內為增函數(shù)；
當
時，
，即在
內為減函數(shù)．
∴的最大值為
，
∴
（Ⅱ）若函數(shù)有兩個極值點分別為
，
，
則
在內有兩根，，
由（I），知
．
由
，兩式相減，得
．
不妨設
，
∴要證明
，只需證明
．
即證明
，亦即證明．
令函數(shù)
．
∴
，即函數(shù)
在
內單調遞減．
∴
時，有
，∴
．
即不等式成立．
綜上，得．
文敬圖書課時先鋒系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
.
（1）當
時，
恒成立，求實數(shù)
的取值范圍；
（2）證明：當
時，函數(shù)
有最小值，設
最小值為
，求函數(shù)的值域.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】為了研究家用轎車在高速公路上的速情況，交通部門對
名家用轎車駕駛員進行調查，得到其在高速公路上行駛時的平均車速情況為：在
名男性駕駛員中，平均車速超過
的有
人，不超過的有
人．在
名女性駕駛員中，平均車速超過的有
人，不超過的有
人.
（1）完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有
的把握認為平均車速超過與性別有關，（結果保留小數(shù)點后三位）
平均車速超過 | 平均車速不超過 | 合計 | |
男性駕駛員人數(shù) | |||
女性駕駛員人數(shù) | |||
合計 |
（2）以上述數(shù)據(jù)樣本來估計總體，現(xiàn)從高速公路上行駛的大量家用轎車中隨機抽取
輛，若每次抽取的結果是相互獨立的，問這輛車中平均有多少輛車中駕駛員為男性且車速超過？
附：
（其中
為樣本容量）
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】一個幾何體挖去部分后的三視圖如圖所示，若其正視圖和側視圖都是由三個邊長為2的正三角形組成，則該幾何體的表面積為（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知直線
（
為參數(shù)），曲線
（
為參數(shù)）.
（1）設
與
相交于
兩點，求
；
（2）若把曲線
上各點的橫坐標壓縮為原來的
倍，縱坐標壓縮為原來的
倍，得到曲線
，設點
是曲線
上的一個動點，求它到直線
的距離的最大時，點P的坐標.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某家庭進行理財投資，有兩種方式，甲為投資債券等穩(wěn)健型產品，乙為投資股票等風險型產品，設投資甲、乙兩種產品的年收益分別為
、
萬元，根據(jù)長期收益率市場預測，它們與投入資金
萬元的關系分別為
，
，（其中
，
，
都為常數(shù)），函數(shù)，對應的曲線
,
如圖所示．
（1）求函數(shù)、的解析式；
（2）若該家庭現(xiàn)有
萬元資金，全部用于理財投資，問：如何分配資金能使一年的投資獲得最大收益，其最大收益是多少萬元？
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某城市有210家百貨商店，其中大型商店20家，中型商店40家，小型商店150家.為了掌握各商店的營業(yè)情況，計劃抽取一個容量為21的樣本，應采用怎樣的抽樣方法？并寫出抽樣過程.
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