Question

對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，符號(hào)[x]表示x的整數(shù)部分，即[x]是不超過x的最大整數(shù)”．在實(shí)數(shù)軸R（箭頭向右）上[x]是在點(diǎn)x左側(cè)的第一個(gè)整數(shù)點(diǎn)，當(dāng)x是整數(shù)時(shí)[x]就是x．這個(gè)函數(shù)[x]叫做“取整函數(shù)”，它在數(shù)學(xué)本身和生產(chǎn)實(shí)踐中有廣泛的應(yīng)用．那么[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+[log₂4]+…+[log₂1024]=

8204

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意可得，[log₂1]=0有1個(gè)0，[log₂2]=[log₂3]=1，有2個(gè)1，[log₂4]=[log₂5]=…=[log₂7]=2，有4個(gè)2
[log₂8]=[log₂9]=[log₂10]=…=[log₂15]=3，有8個(gè)3，[log₂1024]=10，則[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+[log₂4]+…+[log₂1024]=1×2+2×2²+3×2³+…+9×2⁹+10，令S=1×2+2×2²+…+9×2⁹，利用錯(cuò)位相減可求S，進(jìn)而可求

解答：解：根據(jù)題意可得，[log₂1]=0有1個(gè)0，[log₂2]=[log₂3]=1，有2個(gè)1，[log₂4]=[log₂5]=…=[log₂7]=2，有4個(gè)2
[log₂8]=[log₂9]=[log₂10]=…=[log₂15]=3，有8個(gè)3，[log₂1024]=10
所以，[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+[log₂4]+…+[log₂1024]
=0+1+1+2+2+2+2+3+3+3+3+3+3+3+3+…+10
=1×2+2×2²+3×2³+…+9×2⁹+10
令S=1×2+2×2²+…+9×2⁹
2S=1×2²+2×2³+…+8×2⁹+9×2¹⁰
所以，-S=2+2²+…+2⁹-9×2¹⁰
=

2(1-29)

1-2

-9×210=  -2-8×210
所以，S=8×2¹⁰+2=8194
故答案為：8204

點(diǎn)評(píng)：本題以新定義取整函數(shù)為切入點(diǎn)，主要考查了歸納推理的應(yīng)用，及數(shù)列求和的錯(cuò)位相減的求和方法的應(yīng)用，是一道構(gòu)思巧妙的試題．