Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是兩個邊長為2的正三角形，DC=4，O為BD的中點，E為PA的中點．
（Ⅰ）求證：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求證：OE∥平面PDC；
（Ⅲ）求面PAD與面PBC所成角的大小．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由條件先證明四邊形ABFD為正方形，由等腰三角形的性質證明PO⊥BD，由勾股定理求得PO⊥AO，從而證得PO⊥平面ABCD．
（Ⅱ）過O分別做AD，AB的平行線，以它們做x，y軸，以OP為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，求出

OE

=-

1

2

PF

可得 OE∥PF，從而證得OE∥平面PDC． 
（Ⅲ）求出平面PAD的法向量、平面PBC的法向量，利用向量的夾角公式即可求面PAD與面PBC所成角的大小．

解答： （Ⅰ）證明：設F為DC的中點，連接BF，則DF=AB
∵AB⊥AD，AB=AD，AB∥DC，
∴四邊形ABFD為正方形，
∵O為BD的中點，
∴O為AF，BD的交點，
∵PD=PB=2，
∴PO⊥BD，（2分）
∵BD=

AD2+AB2

=2

2

，
∴PO=

PB2-BO2

=

2

，AO=

1

2

BD=

2

，
在三角形PAO中，PO²+AO²=PA²=4，∴PO⊥AO，（（3分）
∵AO∩BD=O，∴PO⊥平面ABCD  （ 4分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知PO⊥平面ABCD，又AB⊥AD，所以過O分別做AD，AB的平行線，以它們做x，y軸，以OP為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

由已知得：A（-1，-1，0），B（-1，1，0），D（1，-1，0）F（1，1，0），C（1，3，0），P(0，0，

2

)，E(-

1

2

，-

1

2

，

2

2

)，
則

OE

=(-

1

2

，-

1

2

，

2

2

)，

PF

=(1，1，-

2

)，

PD

=(1，-1，-

2

)，

PC

=(1，3，-

2

)．
∴

OE

=-

1

2

PF

∴OE∥PF
∵OE?平面PDC，PF?平面PDC，
∴OE∥平面PDC；                               （8分）
（Ⅲ）解：設平面PAD的法向量為

n

=(x1，y1，z1)，
則

n •PA =0 n •PD =0

，即

x1+y1+ 2 z1=0 x1-y1- 2 z1=0

，
解得

n

=(0，-2，

2

)，
設平面PBC的法向量為

m

=(x2，y2，z2)
同理可得

m

=(-1，1，

2

)
則cos＜

n

，

m

＞=0，∴面PAD與面PBC所成角的大小為

π

2

（12分）

點評：本題考查證明線面平行、線面垂直的方法，求平面和平面所成的角，體現了數形結合的數學思想，屬于中檔題．