在平面直角坐標(biāo)系中，長度為3的線段AB的端點A、B分別在
軸上滑動，點M在線段AB上，且
,
（1）若點M的軌跡為曲線C，求其方程；
（2）過點
的直線
與曲線C交于不同兩點E、F，N是曲線上不同于E、F的動點，求
面積的最大值.
（1）C的方程是
；（2）
.
解析試題分析：（1）設(shè)
，則
.用定比分點坐標(biāo)公式可得
與之間的關(guān)系式，將此關(guān)系式代入即得只含的方程，此即M的軌跡方程.（2）首先考慮直線的斜率不存在的情況，即
，此時
.當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)
，
，聯(lián)立
，再用韋達(dá)定理即得
（含k的代數(shù)式）.由題知過N的直線
，且與橢圓切于N點時，
最大，故設(shè)
聯(lián)立與橢圓方程得
，此時
.
的距離
即為點N到EF的距離，所以
，化簡
，平方后利用導(dǎo)數(shù)可得其最大值.
（1）由題知
，設(shè)
有
代入得，
所以曲線C的方程是 4分
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，即，此時 5分
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)，
聯(lián)立
，有
.
7分
由題知過N的直線，且與橢圓切于N點時，最大，故設(shè)
聯(lián)立與橢圓方程得，此時的距離，所以
化簡 10分
設(shè)
，有
，所以函數(shù)
在
上單調(diào)遞減，當(dāng)
時，函數(shù)取得最大值
，即
時
綜上所述 .13分.
考點：1、軌跡方程的求法；2、直線與圓錐曲線的關(guān)系；3、利用導(dǎo)數(shù)求最值.
智能訓(xùn)練練測考系列答案
計算高手系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
設(shè)函數(shù)
，其中
（1）討論
在其定義域上的單調(diào)性；
（2）當(dāng)
時，求取得最大值和最小值時的
的值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2(a，b∈R)．
(1)若函數(shù)f(x)在x＝1處有極值10，求b的值；
(2)若對于任意的a∈[－4，＋∞)，f(x)在x∈[0,2]上單調(diào)遞增，求b的最小值．
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已知函數(shù)f(x)＝x2－1與函數(shù)g(x)＝aln x(a≠0)．
(1)若f(x)，g(x)的圖像在點(1,0)處有公共的切線，求實數(shù)a的值；
(2)設(shè)F(x)＝f(x)－2g(x)，求函數(shù)F(x)的極值．
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設(shè)函數(shù)
.
（1）若
在
時有極值，求實數(shù)
的值和的極大值；
（2）若在定義域上是增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍．
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設(shè)函數(shù)f(x)＝ln x－
－ln a(x>0，a>0且為常數(shù))．
(1)當(dāng)k＝1時，判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并加以證明；
(2)當(dāng)k＝0時，求證：f(x)>0對一切x>0恒成立；
(3)若k<0，且k為常數(shù)，求證：f(x)的極小值是一個與a無關(guān)的常數(shù)．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
（14分）（2011•陜西）設(shè)f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f′（x）．
（Ⅰ）求g（x）的單調(diào)區(qū)間和最小值；
（Ⅱ）討論g（x）與
的大小關(guān)系；
（Ⅲ）求a的取值范圍，使得g（a）﹣g（x）＜
對任意x＞0成立．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知曲線
滿足下列條件：
①過原點；②在
處導(dǎo)數(shù)為－1；③在
處切線方程為
.
(1) 求實數(shù)
的值；
（2）求函數(shù)的極值.
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在
處取得極值－2.
的解析式； 
在點
處的切線方程.