Question

已知b，c∈R，若關于的不等式0≤

x

2

+bx+c≤4的解集為[x₁，x₂]∪[x₃，x₄]，（x₂＜x₃），則（2x₄-x₃）-（2x₁-x₂）的最小值是

 

．

Answer 1

分析：先畫出函數f（x）=

x

2

+bx+c的圖象，數形結合可知x₂、x₃為方程

x

2

+bx+c=0的兩個根，x₁、x₄為方程

x

2

+bx+c-4=0的兩個根，進而將所求整理化簡，利用求根公式將所求表示為關于

b2-4c

的函數，最后利用換元法和判別式法求函數值域即可

解答：解：依題意：x₂、x₃為方程

x

2

+bx+c=0的兩個根
x₁、x₄為方程

x

2

+bx+c-4=0的兩個根
設y=（2x₄-x₃）-（2x₁-x₂）=（x₄-x₃）+（x₂-x₁）+（x₄-x₁）=2（x₂-x₁）+（x₄-x₁）
=2（

-b- b2-4c

2

-

-b- b2-4(c-4)

2

）+（

-b+ b2-4(c-4)

2

-

-b- b2-4(c-4)

2

）
=2（

b2-4c+16 - b2-4c

2

）+

b2-4c+16

=2

b2-4c+16

-

b2-4c

令

b2-4c

=t，則t＞0
y=2

t2+16

-t
∴（y+t）²=4（t²+16）
即3t²-2yt-y²+64=0
由△=4y²-12（64-y²）≥0，得y²≥48
∴y≥4

3

，（y≤-4

3

不合題意）
故答案為 4

3

點評：本題主要考查了函數、方程不等式間的內在聯系及其相互應用，一元二次方程的解法，一元二次不等式的解法，換元法、判別式法求函數值域的方法，難度較大