Question

（本題滿分16分）已知函數．

（1）若關于的方程只有一個實數解，求實數的取值范圍；

（2）若當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）.（2）. 

【解析】第一問中，方程，即，變形得，

顯然，已是該方程的根，從而欲原方程只有一解，即要求方程，

有且僅有一個等于1的解或無解，

結合圖形得.

第二問，不等式對恒成立，即（*）對恒成立，

①當時，（*）顯然成立，此時；       

②當時，（*）可變形為

令

因為當時，，當時，，

所以，故此時

【答案】解：（1）方程，即，變形得，

顯然，已是該方程的根，從而欲原方程只有一解，即要求方程，

有且僅有一個等于1的解或無解，

結合圖形得.                                   ……………………6分

（2）不等式對恒成立，即（*）對恒成立，

①當時，（*）顯然成立，此時；          ……………………8分

②當時，（*）可變形為，………………………10分

令 …………………………12

因為當時，，當時，，

所以，故此時. …………………15分

綜合①②，得所求實數的取值范圍是.  …………………………………16分