Question

已知b，c∈R，若關于的不等式的解集為[x₁，x₂]∪[x₃，x₄]，（x₂＜x₃），則（2x₄-x₃）-（2x₁-x₂）的最小值是________．

Answer 1

4
分析：先畫出函數f（x）=的圖象，數形結合可知x₂、x₃為方程=0的兩個根，x₁、x₄為方程-4=0的兩個根，進而將所求整理化簡，利用求根公式將所求表示為關于的函數，最后利用換元法和判別式法求函數值域即可
解答：依題意：x₂、x₃為方程=0的兩個根
x₁、x₄為方程-4=0的兩個根
設y=（2x₄-x₃）-（2x₁-x₂）=（x₄-x₃）+（x₂-x₁）+（x₄-x₁）=2（x₂-x₁）+（x₄-x₁）
=2（-）+（-）
=2（）+
=2-
令=t，則t＞0
y=2-t
∴（y+t）²=4（t²+16）
即3t²-2yt-y²+64=0
由△=4y²-12（64-y²）≥0，得y²≥48
∴y≥4，（y≤-4不合題意）
故答案為 4
點評：本題主要考查了函數、方程不等式間的內在聯系及其相互應用，一元二次方程的解法，一元二次不等式的解法，換元法、判別式法求函數值域的方法，難度較大