Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知點，直線設圓C的半徑為1，圓心在直線l上.

（1）若圓心C也在直線上，過點作圓C的切線，求切線的方程；

（2）若圓C上存在點M，使得，求圓心C的橫坐標的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）所求切線方程為或；（2）

【解析】

（1）先求得圓心，再根據半徑為1，可得圓的方程.分類討論斜率不存在和存在時的情況，由圓心到切線的距離等于半徑求得切線方程；
（2）可設圓心，設點，則由可得，設此圓為圓D，由題意可得，圓C和圓D有交點，故兩圓相交，由此有，解之可得的取值范圍.

（1）由題設，知圓心C是直線和的交點，

所以點C的坐標為，圓C的方程為，

當過點的切線的斜率不存在時，切線方程為，滿足條件；

當過點的切線的斜率存在時，

設切線方程為，

由題意得，解得，

所以切線方程為.

故所求切線方程為或.

（2）因為圓心C在直線上，

所以設點C的坐標為，

圓C的方程為，

設點，因為，

所以，

化簡得，即，

所以點M在以點為圓心，2為半徑的圓上.

由題意，點在圓C上，

所以圓C與圓D有公共點，

則，即，

解得.

所以圓心C的橫坐標的取值范圍為.