Question

【題目】函數，.

（1）求函數的單調區間及極值；

（2）若，是函數的兩個不同零點，求證：①；②.

Answer 1

【答案】（1）在遞減，遞增，，無極大值（2）見解析

【解析】分析：（1）求出，解不等式得增區間，解不等式得減區間，從而也可得到極值；

（2）①先確定函數的變化趨勢，由函數式，知或時，都有，從而要有兩個零點，則必有，從而得．因此兩個零點，不妨設，通過構造函數，由的單調性可證，即，最后由的單調性，得證，②證明：令，然后證明＝，由，得，計算

，由由得，再由在上的單調性可證結論．

詳解：（1）定義域：

令，則，令，則

∴在遞減，遞增

∴，無極大值

（2）由（1）知時，；時，

要使有兩個不同零點，則即

不妨設，

①證明：令，則

在遞增而，∴

∴即

∵，∴

∵且在遞減

∴，即

②證明：令，下面先證明，

∵，，∴在遞增

∴，∴在遞增，∴

即在總成立，∵，∴

又

∵由知，

又，且及在遞減

∴，即