Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）若函數在區間（其中）上存在極值，求實數的取值范圍．

（Ⅱ）如果當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍．

（Ⅲ）求證．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出函數的極值，在探討函數在區間（其中a＞0）上存在極值，尋找關于a的不等式，求出
實數a的取值范圍；（Ⅱ）如果當x≥1時，不等式恒成立，把k分離出來，轉化為求函數最值．（Ⅲ）借助于（Ⅱ）的結論得令，則有，∴，累加，放縮即可證得結論.

證明不等式．

試題解析：

（Ⅰ），∴時， ，此時單調遞增；

當時， ，此時單調遞減．

又，∴在處取得極大值，

∵若使得在區間上存在極值，其中，∴，

∴．∴的取值范圍為．

（Ⅱ）不等式，

即恒成立，令，∴，

令，∴，∵，∴，∴在上單調遞增，

∴，∴， 在上也單調增，

∴，∴．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知： 恒成立，即，令，則有，∴，∴，

；

；

，

疊加得： ，

∴，

∴，

∴，得證．