Question

【題目】如圖，已知四棱錐中，底面為菱形，平面， 為上一點，為菱形對角線的交點．

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）若，四棱錐的體積是四棱錐的體積的，求二面角的正切值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ).

【解析】

（1）由平面，得，再由底面為菱形，得，由線面垂直的判定可得平面，進一步得到平面平面；（2）設到平面的距離為,菱形的面積為 ,由體積關系可得 ,則為的中點，連接，則，可得平面，過作，則為二面角的平面角，然后求解三角形得二面角的正切值.

（1）證明：因為平面，平面，，

因為底面為菱形， ，

又平面，且，

平面，

平面平面平面；

（2）設到平面的距離為,菱形的面積為 ,

則，

，

由已知有，

, 則為的中點，

連接，則， 平面，

過作，

連接，則為二面角的平面角，

設，

則，

.