Question

【題目】

已知數列{an}和{bn}滿足：a1=λ，an+1=其中λ為實數，n為正整數．

（Ⅰ）對任意實數λ，證明數列{an}不是等比數列；

（Ⅱ）試判斷數列{bn}是否為等比數列，并證明你的結論；

（Ⅲ）設0＜a＜b，Sn為數列{bn}的前n項和．是否存在實數λ，使得對任意正整數n，都有

a＜Sn＜b?若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析．

（Ⅱ）見解析．

（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）選擇反證法來證明，假設存在推出矛盾．

（Ⅱ）用數列構造一個新數列，我們寫出新數列的第項和第項之間的關系，發現的取值影響數列的性質，所以要對進行討論．

（Ⅲ）根據前面的運算寫出數列的前項和，把不等式寫出來觀察不等式的特點，構造新函數，根據函數的最值進行驗證，注意的奇偶情況要分類討論．

解：（Ⅰ）證明：假設存在一個實數，使是等比數列，則有，即，矛盾．

所以不是等比數列．

（Ⅱ）解：因為

又，所以

當，，此時不是等比數列：

當時，，由上可知，

．

故當時，數列是以為首項，為公比的等比數列．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當，，，不滿足題目要求．

，故知，于是可得

，

要使對任意正整數成立，

即

得

①

當為正奇數時，；當為正偶數時，，

的最大值為（1），的最小值為（2），．

于是，由①式得．

當時，由，不存在實數滿足題目要求；

當存在實數，使得對任意正整數，都有，且的取值范圍是