Question

【題目】已知點，是拋物線上的兩個動點，是坐標原點，向量，滿足.設圓的方程為.

（1）證明線段是圓的直徑；

（2）當圓的圓心到直線的距離的最小值為時，求的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2

【解析】

(1)根據兩個向量模長之間的關系，兩邊平方，移項合并得到數量積為零，用坐標表示出來，根據點是圓上的點,得到線段垂直，從而數量積為零,把兩個式子進行比較，整理得到結果；(2)根據兩個點是拋物線.上的點，把點的坐標代入拋物線方程，整理變形得到圓心的軌跡方程，表示出圓心到直線的距離，根據二次函數的最值得到結果.

（1）∵，

∴.

∴.

∵，

∴在圓上，

同理在圓上.

又∵的中點為圓的圓心，

∴線段是圓的直徑

（2）設圓的圓心為.

∵，，

∴，

又.

∴.

∵，，

∴

.∴.

所以圓心的軌跡方程為：.

設圓心到直線的距離為，則，

所以當時，有最小值，

由題設，

所以.