Question

（2013•未央區三模）在數列{a_n}中，a1=

2

3

，且對任意的n∈N₊都有an+1=

2an

an+1

．
（Ⅰ）求證：{

1

an

-1}是等比數列；
（Ⅱ）若對于任意n∈N₊都有a_n+1＜pa_n，求實數P的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用an+1=

2an

an+1

可得

1

an+1

-1=

an+1

2an

-1=

1-an

2an

=

1

2

(

1

an

-1)；再求出首項不為0即可證：{

1

an

-1}是等比數列；
（Ⅱ）先利用（Ⅰ）的結論求出數列{a_n}的通項，代入a_n+1＜pa_n把其整理為p＞1+

1

2n+1+1

，再利用函數的單調性求出不等式右邊的取值范圍即可得出實數P的取值范圍．

解答：解：
（Ⅰ）證明：由an+1=

2an

an+1

，得

1

an+1

-1=

an+1

2an

-1=

1-an

2an

=

1

2

(

1

an

-1)．
又由a1=

2

3

，得

1

a1

-1=

1

2

≠0．
∴{

1

an

-1}是以

1

a1

-1=

1

2

為首項，以

1

2

為公比的等比數列．
（Ⅱ）由（Ⅰ），可得

1

an

-1=

1

2

×(

1

2

)n-1=

1

2n

．
即an=

2n

2n+1

，an+1=

2n+1

2n+1+1

．
∵a_n+1＜pa_n（n∈N₊），
∴p＞

an+1

an

=

2n+1

2n+1+1

•

2n+1

2n

=

2n+1+2

2n+1+1

=1+

1

2n+1+1

顯然，當n=1時，1+

1

2n+1+1

值最大，且最大值為

6

5

．
∴實數p的取值范圍為p＞

6

5

．

點評：本題主要考查數列遞推關系式的應用以及等比數列的證明和數列與函數的綜合問題，是對知識點的綜合考查，屬于中檔題目．