Question

已知函數f（x）=a（1-|x-1|），a為常數，且a＞1．
（1）求f（x）的最大值；
（2）證明函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱；
（3）當a=2時，討論方程f（f（x））=m解的個數．

Answer 1

考點：分段函數的應用,函數的最值及其幾何意義

專題：函數的性質及應用

分析：對于①去掉絕對值分段討論；對于②依據對稱的定義證明；對于③根據復合函數的定義把絕對值去掉即可

解答： 解：（1）f(x)=a(1-|x-1|)=

a(2-x)，x≥1 ax，x＜1

當x＜1時，f（x）為增函數，最大值為a；當x≥1時，f（x）為減函數，最大值為a，故f（x）的最大值為a．
（2）設點（x₀，y₀）為y=f（x）上任意一點，則
，f（2-x₀）=a（1-|2-x₀-1|）=a（1-|1-x₀|）=a（1-|x₀-1|）=y₀=f（x₀）
∴f（2-x₀）=f（x₀），令2-x₀=1+x，則x₀=1-x，∴f（1+x）=f（1-x），即x=1是函數f（x）的對稱軸，
所以，函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱．
（3）當a=2時，f(f(x))=

4x，x＜ 1 2 4-4x， 1 2 ≤x＜1 4x-4，1≤x≤ 3 2 8-4x，x＞ 3 2

如圖，當m＜0時，方程有2個解；當m=0時，方程有3個解；當0＜m＜2時，方程有4個解；當m=2時，方程有2個解．
綜合上述，當m＜0或m=2時，方程有2個解；當m=0時，方程有3個解；當0＜m＜2時，方程有4個解．

點評：本題考查了分段函數單調性，對稱的定義，復合函數的性質，綜合性較強．