Question

已知長方形ABCD中，AB=4，BC=2，E為CD的中點，將長方形ABCD沿線段AE折起，使平面DAE⊥平面ABCE，得到四棱錐D-ABCE．

（1）求證：AD⊥BE
（2）設(shè)點P是側(cè)棱DB上一點，

DP

DB

=λ，若二面角C-AE-P的大小為

π

4

，求λ的值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間角

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出AE⊥DE，從而得到DE⊥平面ABCD，由此能證明BE⊥平面ADE，從而得到AD⊥BE．
（2）以E為原點，分別以EA、EB、ED為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由此利用向量法能求出結(jié)果．

解答： （1）證明：長方形ABCD中，
∴AB=4，BC=2，E為CD的中點，
∴AE⊥DE，
∵平面DAE⊥平面ABCE，平面DAE∩平面ABCE=AE，
∴DE⊥平面ABCD，又BE?平面ABCD，∴DE⊥BE，
∵AE∩DE=E，∴BE⊥平面ADE，
∵AD?平面ADE，∴AD⊥BE．
（2）解：由（1）知EA、EB、ED兩兩垂直，
以E為原點，分別以EA、EB、ED為x，y，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意知E（0，0，0），A（2

2

，0，0），
D（0，0，2），B（2

2

，4，0），
∴

EA

=(2

2

，0，0)，

DB

=(2

2

，4，-2)，
∵

DP

DB

=λ，∴

DP

=（2

2

λ，4λ，-2λ），∴P（2

2

λ，4λ，2-2λ），
∴

EP

=（2

2

λ，4λ，2-2λ），
設(shè)平面AEP的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • EA =2 2 x=0 n • EP =2 2 λx+4λy+(2-2λ)z=0

，
取y=1，得

n

=(0，1，

2λ

λ-1

)，
由題意知

m

=(0，0，1)，
∵二面角C-AE-P的大小為

π

4

，
∴cos

π

4

=

| m • n |

| m |•| n |

=

| 2λ λ-1 |

1+( 2λ λ-1 )2

=

2

2

，
由題意知λ∈（0，1），解得λ=

1

3

．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查滿足條件的實數(shù)的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．