Question

【題目】為了制作廣告牌，需在如圖所示的鐵片上切割出一個直角梯形，已知鐵片由兩部分組成，半徑為1的半圓及等腰直角三角形，其中，為裁剪出面積盡可能大的梯形鐵片（不計損耗），將點放在弧上，點放在斜邊上，且，設.

（1）求梯形鐵片的面積關于的函數關系式；

（2）試確定的值，使得梯形鐵片的面積最大，并求出最大值.

Answer 1

【答案】（1），其中.（2）時，

【解析】試題分析：（1）求梯形鐵片的面積關鍵是用表示上下底及高，先由圖形得，這樣可得高，再根據等腰直角三角形性質得， 最后根據梯形面積公式得 ，交代定義域．（2）利用導數求函數最值：先求導數 ，再求導函數零點，列表分析函數單調性變化規律，確定函數最值

試題解析：（1）連接，根據對稱性可得且，

所以， ， ，

所以 ，其中．

（2）記， ，

（）．

當時， ，當時， ，

所以在上單調遞增，在上單調遞減，

所以，即時， ．