Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1．

（1）求證：AB1⊥平面A1BC1；

（2）若D在B1C1上，滿足B1D＝2DC1，求AD與平面A1BC1所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）.

【解析】

（1）先證明AB1⊥A1B，AB1⊥A1C1，進而得證結論；

（2）以A1B1，A1C1，A1A為x，y，z軸如圖建立空間直角坐標系，求解平面A1BC1的法向量為,利用線面角的向量公式，即得解.

（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，

根據已知條件易得AB1⊥A1B，

由A1C1⊥面ABB1A1，得AB1⊥A1C1，

A1B∩A1C1＝A1，

故AB1⊥平面A1BC1；

（2）以A1B1，A1C1，A1A為x，y，z軸如圖建立空間直角坐標系，

設AB＝a，則A（0，0，a），B（a，0，a），，

所以，

設平面A1BC1的法向量為

，令

則，

可計算得到

所以AD與平面A1BC1所成的角的正弦值為．