Question

【題目】已知以點為圓心的圓過原點O，與x軸另一個交點為M,與y軸另一個交點為N，

（1）求證:△MON的面積為定值;

（2）直線4x+ y-4=0與圓C交于點A、B,若,求圓C的方程

（3）若直線l:x+ y -5=0和圓C交于點A,B兩點，且AB=,求圓心C的坐標。

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）（1,2）或（2,1）．

【解析】

試題分析：（1）關鍵是求出的面積，首先寫出圓的方程,可化簡后分別令和求得的坐標，從而得的面積；（2）由，知在的中垂線上，從而，因此可得斜率，由此可得，得圓方程；（3）已知直線與圓相交弦長，可由垂徑定理求得弦長，即先求得圓心到直線的距離，由勾股定列出關于的方程，解得可得圓心坐標．

試題解析：（1）由題設知,圓C的方程為,化簡得,當y=0時,x=0或2t,則;當x=0時,y=0或,則, ∴為定值

（2）∵,則原點O在AB的中垂線上,設AB的中點為H,則CH⊥AB,∴C、H、O三點共線,則直線OC的斜率,∴t=2 （負舍）

∴圓心C（2, ）∴圓C的方程為

（3）d=，r= ，弦長為，列出方程：

，令，方程可化為，解得

m=3或-13（舍），則t=1或2，所以圓心C（1，2）或（2，1）．