Question

如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為棱CC₁的中點．
（1）求證：BD⊥AE；
（2）求點A到平面BDE的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算

專題：計算題,空間位置關系與距離

分析：（1）連AC，根據(jù)正方體的幾何特征，可得CC₁⊥BD，AC⊥BD，由線面垂直的判定定理，可得BD⊥平面ACE₁，再根據(jù)線面垂直的性質，即可得到BD⊥AE．
（2）利用等體積法，求點A到平面BDE的距離．

解答： （1）證明：連AC，則
∵正方體AC₁中，CC₁⊥平面ABCD，∴CC₁⊥BD．
∵正方形ABCD，AC⊥BD且AC∩CC₁=C．
∴BD⊥平面ACE，
∴AE?平面ACE，
∴BD⊥AE；
（2）解：設A到平面BDE的距離為h，則
∵棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為棱CC₁的中點，
∴BE=DE=

5

，BD=2

2

，
∴S_△BDE=

6

，
∴

1

3

×

6

h=

1

3

×2×1，
∴h=

6

3

．

點評：本題考查的知識點是線面垂直的性質，點到平面的距離，其中（1）的關鍵是熟練掌握空間線線、線面及面面之間位置關系的轉化，（2）的關鍵是等體積轉化．