Question

【題目】已知圓柱底面半徑為1，高為，是圓柱的一個軸截面，動點從點出發沿著圓柱的側面到達點，其距離最短時在側面留下的曲線如圖所示.將軸截面繞著軸逆時針旋轉后，邊與曲線相交于點.

（1）求曲線的長度；

（2）當時，求點到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）將圓柱的一半展開,可知曲線的長度為矩形的對角線長度.其中矩形的寬為圓柱的高,長為底面的半圓長,即可求得曲線的長度.

（2）當時,以底面的圓心O為原點建立空間直角坐標系.寫出各個點的坐標,求得平面的法向量,即可求得點到平面的距離.

（1）曲線的長度為矩形的對角線長度.其中矩形的寬為圓柱的高,長為底面的半圓長,

其中,底面的半圓長為

∴的長為

（2）當時,建立如圖所示的空間直角坐標系:

則有、、、,

所以、、.

設平面的法向量為,

則,代入可得,

令,得,

所以點到平面的距離為.