Question

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠APC＝90°，∠BPD＝120°，PB＝PD．

（1）求證：平面APC⊥平面BPD；

（2）若AB＝2AP＝2，求三棱錐C-PBD的體積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

（1）記與交點為，利用，證得線面垂直，從而可證得面面垂直；

（2）設，利用求得，從而得的長度，過作，垂足為，由（1）可證就是四棱錐的高，求出這個高及底面面積, 用換底法可得體積．

（1）證明：記與交點為，∵，為的中點，∴，又∵為菱形，∴．

∵和是平面內兩條相交直線，∴平面．

又平面，∴平面平面．

（2）設，∵，∴，又，所以，所以，因為，所以在中，由勾股定理得，，∴，∴．

過作，垂足為，由（1）知，平面，∴平面平面．又平面平面，所以平面．

在中，得，所以三棱錐的體積．