Question

【題目】某算法的程序框圖如圖所示，其中輸入的變量x在1，2，3，…，24這24個整數中等可能隨機產生 （I）分別求出按程序框圖正確編程運行時輸出y的值為i的概率pi（i=1，2，3）；
（II）甲乙兩同學依據自己對程序框圖的理解，各自編程寫出程序重復運行n次后，統計記錄輸出y的值為i（i=1，2，3）的頻數，以下是甲乙所作頻數統計表的部分數據．
甲的頻數統計圖（部分）

運行次數n	輸出y的值為1的頻數	輸出y的值為2的頻數	輸出y的值為3的頻數
30	14	6	10
…	…	…	…
2100	1027	376	697

乙的頻數統計圖（部分）

運行次數n	輸出y的值為1的頻數	輸出y的值為2的頻數	輸出y的值為3的頻數
30	12	11	7
…	…	…	…
2100	1051	696	353

當n=2100時，根據表中的數據，分別寫出甲、乙所編程序各自輸出y的值為i（i=1，2，3）的頻率（用分數表示），并判斷兩位同學中哪一位所編程序符合要求的可能系較大；
（III）將按程序擺圖正確編寫的程序運行3次，求輸出y的值為2的次數ξ的分布列及數學期望．

Answer 1

【答案】解：（I）變量x是在1，2，3，…，24這24個整數中隨機產生的一個數，共有24種可能， 當x從1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23這12個數中產生時，輸出的y值為1，故P1= = ；
當x從2，4，8，10，14，16，20，22這8個數中產生時，輸出的y值為2，故P2= = ；
當x從6，12，18，24這4個數中產生時，輸出的y值為3，故P3= = ；
故輸出的y值為1的概率為 ，輸出的y值為2的概率為 ，輸出的y值為3的概率為 ；
（II）當n=2100時，甲、乙所編程序各自輸出的y值為i（i=1，2，3）的頻率如下：

	輸出y值為1的頻率	輸出y值為2的頻率	輸出y值為3的頻率
甲
乙

比較頻率趨勢與概率，可得乙同學所編程序符合算法要求的可能性較大；
（III）隨機變量ξ的可能取值為：0，1，2，3，P（ξ=0）= = ，P（ξ=1）= =
P（ξ=2）= = ，P（ξ=3）= = ，故ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P

所以所求的數學期望Eξ= =1
【解析】（I）變量x是在1，2，3，…，24這24個整數中隨機產生的一個數，共有24種可能，由程序框圖可得y值為1，2，3對應的情況，由古典概型可得；（II）由題意可得當n=2100時，甲、乙所編程序各自輸出的y值為1，2，3時的頻率，可得答案；（III）隨機變量ξ的可能取值為：0，1，2，3，分別求其概率可得分布列和期望．
【考點精析】利用離散型隨機變量及其分布列和程序框圖對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列；程序框圖又稱流程圖，是一種用規定的圖形、指向線及文字說明來準確、直觀地表示算法的圖形;一個程序框圖包括以下幾部分：表示相應操作的程序框；帶箭頭的流程線；程序框外必要文字說明．