Question

【題目】已知函數．

（1）曲線在點處的切線垂直于直線：，求的值；

（2）討論函數零點的個數．

Answer 1

【答案】(1)或．(2)見解析.

【解析】試題分析：（1）求出曲線再點出的切線方程，根據兩直線垂直的條件求出a的值；（2）對a分情況討論，得出單調性，由單調性求出最小值，再討論最小值的大小來確實是否有零點。

試題解析：（1），

因為在點處垂直于直線 ，

所以，，解得或．

（2）函數的定義域為，．

①當時， ，無零點；

②當時，，得．

當時，，函數單調遞減；

當時，，函數單調遞增，

∴．

因為，

且當時，，當→時，，，

∴當時，即，，函數有兩個不同的零點；

當時，即時，函數有一個零點；

當時，即時，函數沒有零點；

③當時，令，得．

當時，，函數單調遞減；

當時，，函數單調遞增，

∴．

當→和當→，均有，

∴當時，即，時，函數有兩個不同的零點；

當時，即時，函數有一個零點；

當時，即時，函數沒有零點；

綜上，當或時，函數有兩個不同的零點；

當或時，函數有一個零點；

當時，函數沒有零點．