Question

【題目】設橢圓（）的右焦點為，右頂點為，已知，其中為原點，為橢圓的離心率.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設過點的直線與橢圓交于點（不在軸上），垂直于的直線與交于點，與軸交于點，若，且，求直線的斜率.

Answer 1

【答案】(1);(2)或.

【解析】

（Ⅰ）求橢圓標準方程，只需確定，由，得，再利用，可解得，；

（Ⅱ）先化簡條件： ，即M再OA中垂線上，.設直線方程為，點可求；根據，求點H，由點斜式得到直線MH方程，聯立直線和直線MH方程，求得表達式，列等量關系解出直線斜率.

解：（Ⅰ）設，由，即，

可得，又，

所以，因此，所以橢圓的方程為.

（Ⅱ）設，直線的斜率為，則直線的方程為，

由方程組 消去，整理得，

解得或，

由題意得，從而，

設，由（1）知， 有，，

由，得，

所以，解得，

因此直線的方程為，

設，由方程組 消去，得，

在中， ，

即，化簡得，即，

解得或，

所以直線的斜率為或.