Question

【題目】已知點及圓： .

(1)若直線過點且與圓心的距離為，求直線的方程．

(2)設直線與圓交于， 兩點，是否存在實數，使得過點的直線垂直平分弦？若存在，求出實數的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】試題分析:(1)當直線斜率存在時,設出直線方程,利用圓心到直線的距離等于建立方程,解出子線的斜率,由此求得直線方程.當直線斜率不存在時,直線方程為,經驗證可知也符合.(2)將直線方程代入圓的方程,利用判別式大于零求得的取值范圍,利用”圓的弦的垂直平分線經過圓心”,求出直線的斜率,進而求得的值,由此判斷不存在.

試題解析:

(1)設直線l的斜率為k(k存在)，則方程為y－0＝k(x－2)，即kx－y－2k＝0.

又圓C的圓心為(3，－2)，半徑r＝3，

由＝1，解得k＝－.

所以直線方程為，即3x＋4y－6＝0.

當l的斜率不存在時，l的方程為x＝2，經驗證x＝2也滿足條件

(2)把直線y＝ax＋1代入圓C的方程，消去y，整理得(a2＋1)x2＋6(a－1)x＋9＝0.

由于直線ax－y＋1＝0交圓C于A，B兩點，

故Δ＝36(a－1)2－36(a2＋1)>0，

解得a<0.

則實數a的取值范圍是(－∞，0)．

設符合條件的實數a存在．

由于l2垂直平分弦AB，故圓心C(3，－2)必在l2上．所以l2的斜率kPC＝－2.

而kAB＝a＝－，所以a＝.

由于，故不存在實數a，使得過點P(2,0)的直線l2垂直平分弦AB