Question

【題目】下列說法正確的個數是（ ）

①設某大學的女生體重與身高具有線性相關關系，根據一組樣本數據，用最小二乘法建立的線性回歸方程為 ，則若該大學某女生身高增加，則其體重約增加；

②關于的方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；

③過定圓上一定點作圓的動弦，為原點，若，則動點的軌跡為橢圓；

④已知是橢圓的左焦點，設動點在橢圓上，若直線的斜率大于，則直線（為原點）的斜率的取值范圍是.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據回歸方程的意義判斷①；先推出方程的一根大于1 , 一根大于0小于1,結合橢圓與雙曲線離心率定義可判斷②；利用參數法求出動點的軌跡可判斷③；由題意畫出圖形，得到滿足直線的斜率大于的所在的位置，求出直線的斜率的取值范圍可判斷④.

①根據回歸方程的意義，結合回歸方程為 ，可得該大學某女生身高增加，則其體重約增加，正確；

②關于的方程的兩根之和大于2 , 兩根之積等于1, 故兩根中，一根大于1 , 一根大于0小于1,可分別作為橢圓和雙曲線的離心率,正確；

③設定圓的方程為，定點，設，，由，得，消去參數，得，即動點的軌跡為圓，③錯誤.

④由，得，

則，如圖：

過作垂直于軸的直線，交橢圓于，過斜率為的直線與橢圓交于，當在橢圓弧上上時，符合題意， 又，，，當在橢圓弧上時，直線 的斜率的取值范圍是 ，當在橢圓弧上時， 直線的斜率的取值范圍是，即滿足直線的斜率大于，直線的斜率的取值范圍是正確，綜上可知正確命題個數為3，故選C.