Question

（2011•重慶三模）已知

a

=（sinωx，-cosωx），

b

=（sinωx，

3

sinωx）（ω＞0），若函數f（x）=

a

•

b

的最小正周期為

π

2

．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調遞增區間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量的數量積以及二倍角公式、兩角和的正弦函數化簡函數為一個角的一個三角函數的形式，通過周期求ω的值；
（Ⅱ）通過（Ⅰ）得到的函數的解析式，借助正弦函數的單調減區間，求函數f（x）的單調遞增區間．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=

a

•

b

=（sinωx，-cosωx）•（sinωx，

3

sinωx）
=sin2ωx-

3

sinωxcosωx
=

1-cos2ωx

2

-

3 sin2ωx

2

=

1

2

-sin（2ωx+

π

6

），
由題意可知T=

2π

2ω

=

π

2

，
∴ω=2；
（Ⅱ）f（x）=

1

2

-sin（4x+

π

6

），由于2kπ+

π

2

＜4x+

π

6

＜2kπ+

3π

2

，k∈Z，
∴

kπ

2

+

π

12

＜x＜

kπ

2

+

π

3

，k∈Z，
所以函數f（x）的單調遞增區間(

kπ

2

+

π

12

，

kπ

2

+

π

3

)．k∈Z．

點評：本題考查向量的數量積，二倍角與兩角和的正弦函數的應用，周期公式、函數的單調性的應用，考查計算能力．