Question

關于x的方程x²+2（a-1）x+2a+6=0至少有一個正根，則a的取值范圍為（　　）

A．a≤-1

B．a＜-3

C．a≤-3

D．-3≤a≤1

Answer 1

分析：先求出判別式△的解析式，①當方程只有一個根時，△=0，求出此時a 值，并檢驗．②當方程有兩個根時，
△＞0，若方程的兩個根中有一個正根，另一個為負根或零根，則由兩根之積小于或等于0，求得a的范圍；若方程有兩個正根，由根與系數的關系求出a的范圍，再把①②中a的范圍取并集，即為所求．

解答：解：∵△=4（a²-4a-5），①當方程只有一個根時，△=0，此時a=-1 或a=5．
若a=-1，此時方程為 x²-4x+4=0，它的根x=2符合條件．
若a=5，此時方程x²+8x+16=0，它的根x=-4不符合條件，舍去．
②當方程有兩個根時，△＞0可得5＜a，或a＜-1．
若方程的兩個根中有一個正根，另一個為負根或零根，則有2a+6≤0，解可得 a≤-3．
若方程有兩個正根，則

-2(a-1) ＞0 2a+6 ＞0

，解可得-3＜a＜1．
故 a＜-1．
綜合①②可得，a≤-1．
故選：A．

點評：本題考查一元二次方程的根的分布與系數的關系，一元二次方程根的判別式的應用，體現了分類討論和轉化的數學
思想，是一個綜合性的題目，也是一個難度中等的題目．