Question

若關于x的方程x²+2（a+1）x+2a+1=0有且僅有一個小于1的正數根，那么實數a的取值范圍是

（-1，-

1

2

）

．

Answer 1

分析：令f（x）=x²+2（a+1）x+2a+1，方程的判別式△=4a²，故方程一定有根，關于x的方程x²+2（a+1）x+2a+1=0有且僅有一個小于1的正數根，可得出f（0）×f（1）＜0，可解出參數的取值范圍．

解答：解：由題意令f（x）=x²+2（a+1）x+2a+1，方程的判別式△=4a²，故方程一定有根，當△=0時，方程有一個負根不合題意，故方程必有兩根
關于x的方程x²+2（a+1）x+2a+1=0有且僅有一個小于1的正數根，故f（0）×f（1）＜0
即（2a+1）（4a+4）＜0，解得-1＜a＜-

1

2

即實數a的取值范圍是（-1，-

1

2

）
故答案為（-1，-

1

2

）

點評：本題考查一元二次方程的根的分布與系數的關系，求解問題的關鍵是正確理解有且僅有一個小于1的正數根，將能將其轉化為函數在（0，1）內僅有一個0點．