Question

已知命題p：函數f（x）=x²+mx+1有兩個不相同的零點且為負數；命題q：關于x的方程x²-2（m-2）x+m=0沒有實數根．
（Ⅰ）求實數m的取值范圍，使命題p為真命題；
（Ⅱ）若“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，求實數m值的集合．

Answer 1

分析：（1）函數f（x）=x²+mx+1有兩個不相同的零點且為負數則一定有△＞0、兩根之和小于0、兩根之積大于0，聯立可解出m的范圍．
（2）先求出滿足q的m的范圍，再根據p，q只能一真一假刻求出m的范圍．

解答：解：（Ⅰ）若p真，設兩個零點為x₁，x₂，則由

△=m2-4＞0 x1+x2=-m＜0 x1•x2=1＞0

得m＞2；
（Ⅱ）若q真，則△=4（m-2）²-4m＜0，得1＜m＜4．
由已知：p，q一真一假，當p真且q假時，由

m＞2 m≤1或m≥4

得m≥4；
當p假且q真時，由

m≤2 1＜m＜4

得1＜m≤2，故所求m值的集合為{m|1＜m≤2或m≥4}．

點評：本題主要考查命題的真假的判斷和復合命題的真假判斷．屬基礎題．