Question

【題目】如圖所示,直角梯形中,,,,四邊形為矩形,.

（1）求證:平面平面;

（2）在線段上是否存在點(diǎn),使得直線與平面所成角的正弦值為,若存在,求出線段的長(zhǎng),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）存在，長(zhǎng)

【解析】

（1）先證面,又因?yàn)?/span>面,所以平面平面.

（2）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系. 列出各點(diǎn)的坐標(biāo)表示,設(shè),則可得出

向量,求出平面的法向量為,利用直線與平面所成角的正弦公式列方程求出或,從而求出線段的長(zhǎng).

解:（1）證明:因?yàn)樗倪呅?/span>為矩形,

∴.

∵∴

∴∴面

∴面

又∵面

∴平面平面

（2）取為原點(diǎn),所在直線為軸,所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.

如圖所示:則,,,,,

設(shè),;

∴,,

設(shè)平面的法向量為,

∴,不防設(shè).

∴,

化簡(jiǎn)得,解得或;

當(dāng)時(shí),,∴;

當(dāng)時(shí),,∴;

綜上存在這樣的點(diǎn),線段的長(zhǎng).