Question

【題目】已知函數．

（1）若曲線在處切線與坐標軸圍成的三角形面積為，求實數的值；

（2）若，求證：．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）見解析

【解析】

（1）利用導函數求出曲線在處切線，表示出切線與坐標軸圍成三角形面積即可求解；

（2）需證明的不等式通過作差轉化成證明，利用導函數單調性求出最小值即可得證.

（1），則為切線斜率．

又，∴切點為．∴曲線在處切成方程為．

當時，，當時，（易知）

則切線與坐標軸圍成三角形面積為．

∴得．

所以或．

（2）法一：時，

要證的不等式為，即．

令，則．

易知遞增，，，∴僅有一解且，即．

當時，，遞減；當時，，遞增．

從而最小值為∴，故原不等式成立．

法二：時，要證的不等式為．令，則．

故問題化為證不等式恒成立．時，

令，則，當時，，遞減；

當時，，遞增．∴，從而原不等式成立．