Question

【題目】已知函數(shù)．

求的單調(diào)區(qū)間和極值；

當(dāng)時(shí)，若，且，證明：．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；

（2）代入a的值，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合均值不等式以及函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，無(wú)極值；

當(dāng)時(shí)，由，得，

當(dāng)時(shí)，，得的單調(diào)遞增區(qū)間是；

當(dāng)時(shí)，，得的單調(diào)遞減區(qū)間是，

故的極大值為，無(wú)極小值,

綜上：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間是，無(wú)減區(qū)間；無(wú)極值；

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，極大值為，無(wú)極小值.

當(dāng)時(shí)，，，

依題意，，則，

所以，即

由均值不等式可得，

所以，則有．

而，

將代入上式得，

令，則，，

，，即，在上單調(diào)遞減，

于是，即，得證．